Квантовая физика
Ультрафиолетовая катастрофа
Ультрафиолетовая катастрофа — это парадокс классической физики, который возникает при попытке объяснить излучение абсолютно чёрного тела. Этот парадокс связан с тем, что классическая физика предсказывает бесконечную энергию излучения на коротких длинах волн, включая ультрафиолетовую область спектра. В нашей статье мы объясним, как она была решена в представлениях квантовой механики.
Абсолютно черное тело
Известно, что любая замкнутая система рано или поздно приходит в состояние термодинамического равновесия, причем все свойства этого состояния определяются одним единственным параметром — температурой. Нас будет интересовать электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с атомами его излучающими.
Известно, что любая замкнутая система рано или поздно приходит в состояние термодинамического равновесия, причем все свойства этого состояния определяются одним единственным параметром — температурой. Нас будет интересовать электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с атомами его излучающими.
Такое равновесное излучение проще всего получить внутри замкнутой полости, стенки которой удерживаются при некоторой постоянной температуре T . Испускание и поглощение электромагнитного излучения атомами, образующими стенки полости, приведет к заполнению полости электромагнитным полем, которое
обязательно в конце концов придет в состояние термодинамического равновесия с веществом, а значит, тоже будет характеризоваться той же температурой T . Эта модель и называется абсолютно черным телом.
обязательно в конце концов придет в состояние термодинамического равновесия с веществом, а значит, тоже будет характеризоваться той же температурой T . Эта модель и называется абсолютно черным телом.
Модель абсолютно черного тела. Изображение из [2].
Спектральная плотность энергии
Спектральной плотностью энергии электромагнитного поля называется распределение энергии по спектру (частотам или длин волнам). Эта величина определяет энергию в единице объема в спектральном интервале частот dω.
Спектральной плотностью энергии электромагнитного поля называется распределение энергии по спектру (частотам или длин волнам). Эта величина определяет энергию в единице объема в спектральном интервале частот dω.
Общее выражение для спектральной плотности
Рассматривая полевые моды электромагнитного излучения, можно получить выражение (подробнее в [1])
Рассматривая полевые моды электромагнитного излучения, можно получить выражение (подробнее в [1])
$$
\rho_\omega d \omega=\left\langle\varepsilon_\omega\right\rangle d n_{d \omega}=\frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}\left\langle\varepsilon_\omega\right\rangle d \omega .
$$
Искать среднюю энергию полевой моды с определенной частотой можно разными подходами.
Подход 1. Классическое представление
Вспомним, что каждая полевая мода представляет собой гармонический осциллятор, т.е. речь идет фактически о вычислении средней энергии осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия со средой при температуре T. Вероятность обнаружить у гармонического осциллятора определенную энергию описывается распределением Больцмана
Вспомним, что каждая полевая мода представляет собой гармонический осциллятор, т.е. речь идет фактически о вычислении средней энергии осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия со средой при температуре T. Вероятность обнаружить у гармонического осциллятора определенную энергию описывается распределением Больцмана
$$
w(\varepsilon)=A \exp \left(-\varepsilon / k_B T\right)
$$
Среднее значение определяется следующим соотношением. Второе равенство является следствием закона равнораспределения энергии по степеням свободы.
$$
\langle\varepsilon\rangle=\frac{\int \varepsilon w(\varepsilon) d \varepsilon}{\int w(\varepsilon) d \varepsilon}=k_B T
$$
Подставим выражение для средней энергии в спектральную плотность и получим формулу Рэлея и Джинса.
$$
\rho_\omega=\frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} \cdot k_B T
$$
Только есть проблема. Если мы будет считать объемную энергию, что математически получим интеграл, который расходится, т.е. принимает бесконечное значение.
$$
U=\int_0^{\infty} \rho_\omega d \omega=\frac{k_B T}{\pi^2 c^3} \int_0^{\infty} \omega^2 d \omega \rightarrow \infty
$$
Эта формула хорошо описывает низкочастотный спектр излучения, и начинает расходится в области ультрафиолетовых волн. Поэтому эта ситуация была названа П.Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой».
Подсчет средней энергии как следствие теоремы о равнораспределении приводит нас к расходящемуся интегралу объемной энергии
В чем же проблема?
Число полевых мод в единице объема бесконечно велико (в этом смысле об электромагнитном поле говорят, как о системе с бесконечным числом степеней свободы), причем плотность полевых состояний растет с увеличением частоты. В такой ситуации закон равнораспределения энергии по степеням свободы автоматически приводит к бесконечной
энергии.
К тому же, В.Вином был экспериментально установлен закон для высокочастотного спектра (в фиолетовой часть спектра).
Число полевых мод в единице объема бесконечно велико (в этом смысле об электромагнитном поле говорят, как о системе с бесконечным числом степеней свободы), причем плотность полевых состояний растет с увеличением частоты. В такой ситуации закон равнораспределения энергии по степеням свободы автоматически приводит к бесконечной
энергии.
К тому же, В.Вином был экспериментально установлен закон для высокочастотного спектра (в фиолетовой часть спектра).
$$
\rho_\omega \sim \exp \left(-b \omega / k_B T\right)
$$
Получается, какое-то из наших предположений было неверно.
Подход 1. Квантование энергии
М.Планк предположил, что энергия конкретной полевой моды может принимать строго определенный набор значений, кратных некоторому минимальному, и тем самым отказаться от закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Все возможные значения энергии каждой полевой моды определяются выражением
М.Планк предположил, что энергия конкретной полевой моды может принимать строго определенный набор значений, кратных некоторому минимальному, и тем самым отказаться от закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Все возможные значения энергии каждой полевой моды определяются выражением
$$
\varepsilon_n=n \varepsilon_0, \quad n=0,1,2, \ldots
$$
Тогда в выражении для средней энергии интегралы заменятся на бесконечные дискретные суммы. Вероятность обнаружить у гармонического осциллятора определенную энергию все еще описывается распределением Больцмана.
$$
\left\langle\varepsilon_\omega\right\rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon_n w\left(\varepsilon_n\right)}{\sum_{n=0}^{\infty} w\left(\varepsilon_n\right)}
$$
Как вычислять такие суммы можно прочитать в [1].
Для того, чтобы в пределе высоких частот полученное выражение переходило в формулу Вина, необходимо потребовать, чтобы минимальная порция энергии осциллятора была пропорциональна частоте
Для того, чтобы в пределе высоких частот полученное выражение переходило в формулу Вина, необходимо потребовать, чтобы минимальная порция энергии осциллятора была пропорциональна частоте
$$
\varepsilon_0=\hbar \omega
$$
Коэффициент пропорциональности в формуле называется постоянной Планка.
Подставим полученное выражение для средней энергии в спектральную плотность и получим формулу Планка, позволяет объяснить все извест-
ные законы, справедливые для равновесного излучения и полученные ранее эмпирическим путем.
Подставим полученное выражение для средней энергии в спектральную плотность и получим формулу Планка, позволяет объяснить все извест-
ные законы, справедливые для равновесного излучения и полученные ранее эмпирическим путем.
$$
\rho_\omega =\frac{1}{\pi^2 c^3} \frac{\hbar \omega^3}{\exp \left(\hbar \omega / k_B T\right)-1}
$$
Закон Релея и Джинса, закон Вина являются следствиями приближениями формулы Планка. Закон Релея и Джинса приближает формулу планка в высокочастотном, а закон Вина — в низкочастотном.
Отметим при этом, что исчезновение из ответа постоянной Планка является принаком того, что соответствующее выражение может быть получено из чисто классических соображений.
Отметим при этом, что исчезновение из ответа постоянной Планка является принаком того, что соответствующее выражение может быть получено из чисто классических соображений.
Чтобы получить формулу Планка, надо сделать предположение о квантование энергии гармонического осциллятора
1 — формула Планка, 2 — закон Релея и Джинса, 3 — закон Вина. Иллюстрация из [1]
Список литературы:
- А.М. Попов, О.В. Тихонова. Атомная физика, 2014
- Википедия. Абсолютно чёрное тело
- Интернет-лицей ТПУ. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (закон Больцмана)
Автор: команда проекта Суперпозиция
