Почему ледники не плывут по направлению ветра?

геофизика

Почему ледники не плывут по направлению ветра?

Если понаблюдать за ледниками, то окажется, что они движутся вовсе не по направлению ветра. Наверное, вам кажется это противоестественным. В этой статье мы разберемся, почему это происходит.

Задача Экмана

Во время своей экспедиции на борту «Фрама» Фритьоф Нансен наблюдал необычный дрейф льда в Гренландском море. На удивление ледники двигались не по направлению ветра, а отклонялись на угол 20°-40° вправо. Объяснить это явление смог и решить задачу об установившемся дрейфовом течении смог шведский геофизик Ванг Вальфрид Экман в 1905 году.

Почему возникает дрейфовое течение?

Скорость и давление в воздушном потоке постоянно меняются. Их изменения создают на поверхности воды неровности. Это в свою очередь увеличивает трение между слоями воздуха и воды. Ветер передает касательное напряжение поверхностному слою моря и вызывает таким образом дрейфовое течение.

Уравнение Навье-Стокса

Уравнение Навье-Стокса — это основное уравнение, которые описывает движение жидкости. Вот так оно выглядит

$$ \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}=\overrightarrow{\mathrm{g}}+2[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \vec{\omega}]-\frac{\vec{\nabla} \mathrm{p}}{\rho}+v \Delta \overrightarrow{\mathrm{v}}+\left(\zeta+\frac{v}{3}\right) \operatorname{grad} \operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{v}} $$

Первые два слагаемых отвечают за массовые силы. Первое отвечает силе тяжести, а второе — силе Кориолиса (инерции). Последние два слагаемых отвечают поверхностным силам. Третье слагаемое описывает силу градиента давления, а последние два — силу вязкого трения.

Также слева стоит полная производная, т.к функция скорости зависит от времени и координат в общем случае.

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности потока отражает закон сохранения массы: количество втекающей жидкости равно количеству вытекающей.

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \bar{v})=0 $$

Постановка математической задачи

Чтобы решить задачу о дрейфовом течении, недостаточно просто написать уравнение Навье-Стокса. В этом уравнении присутствуют производные, поэтому нам необходимо поставить начально-краевую задачу. Другими словами, нам надо записать начальные и граничные условия.

Чтобы записать эти условия, необходимо сделать ряд предположений:

Океан безбрежен и бездонен (чтобы исключить из рассмотрения влияние трения о берега и о дно).
Океан однороден по плотности ρ = const, а вода несжимаема (т.е. ее объем не изменяется)
Поверхность океана горизонтальна, т.е. есть изменение (градиент не равен нулю) только по высоте

$$ \frac{\partial}{\partial x}=0 \quad \frac{\partial}{\partial y}=0 $$

Движение установившееся, т.е. скорость его во времени не меняется
Поле ветра равномерно, то есть в каждой точке океана направление и скорость ветра одинаковы и постоянны во времени (следовательно, можно полагать, что скорость течения также не меняется от точки к точке).

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \bar{v})=0 \Rightarrow \operatorname{div} \bar{v}=0 \Rightarrow \frac{\partial w}{\partial z}=0 \Rightarrow w=\text { const } \\ $$

Коэффициент вертикальной турбулентной вязкости постоянен по глубине μ(z) = const

Итак, получаем начально-краевую задачу

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}=\overrightarrow{\mathrm{g}}+2[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \vec{\omega}]-\frac{\vec{\nabla} \mathrm{p}}{\rho}+v \Delta \overrightarrow{\mathrm{v}}+\left(\zeta+\frac{v}{3}\right) \operatorname{grad} \operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{v}} \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \bar{v})=0 \\ \left.u_z\right|_{z=0}=0 \\ \left.v_z\right|_{z=0}=\frac{\tau}{\rho \nu}\\ u(-\infty)=0 \\ v(-\infty)=0 \\ w=0=const \end{array}\right. $$

Решение начально-краевой задачи

Шаг 1. Запишем уравнение Навье-Стокса в трех проекциях

$$ \frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+(\bar{v} \bar{\nabla}) \bar{v}=-\frac{\bar{\nabla} p}{\rho_0}+2[\bar{v} \times \bar{\omega}]+\nu \Delta \bar{v}+\bar{g} \\ $$

$$ x: \quad u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\partial p}{\partial x}+2 v \omega \sin \varphi+ \\ \nu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=0 \\ $$ $$ \quad u \cdot 0 +v \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot 0 + 2 v \omega \sin \varphi+ \\ \nu\left(0+0+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)=0 \\ $$ $$ f \cdot v+\nu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0 \\ $$ $$ f = 2 \omega \sin \varphi\\ $$

$$ y: \quad u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\partial p}{\partial y}+2 u w \sin \varphi+ \\ \nu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right)=0 \\ $$ $$ \quad u \cdot 0 +v \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot 0 +2 u w \sin \varphi+ \\ \nu \left(0+0+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right)=0 \\ $$ $$ f \cdot u+\nu \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}=0 \\ $$ $$ f = 2 \omega \sin \varphi\\ $$

$$ z: u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\partial p}{\partial z}-g=0 \\ $$ $$ u \cdot 0 +v \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho_0} \cdot \frac{\partial p}{\partial z}-g=0 \\ $$

При проецировании на ось z мы получили уравнение гидростатики. В дальнейших выкладках оно нам не понадобится.

Шаг 2. Перепишем задачу Экмана для океана бесконечной глубины

$$ \left\{\begin{array}{l} u_{zz}+v \cdot f / \nu=0 \\ v_{zz}-u \cdot f / \nu=0 \\ \left.u_z\right|_{z=0}=0 \\ \left.v_z\right|_{z=0}=\frac{\tau}{\rho \nu}\\ u(-\infty)=0 \\ v(-\infty)=0 \\ \end{array}\right. $$

Шаг 3. Воспользуемся методом введения комплексной величины

$$ \left\{\begin{array}{l} u^{\prime \prime}+\frac{f}{v} v=0 \\ v^{\prime \prime}-\frac{f}{v} u=0 \end{array}\right. \\ $$

Рассмотрим следующую величину.

$$ (1)+i(2)=0 $$ $$ z=u+iv $$ $$ u=\operatorname{Re}(z) \\ $$ $$ v=\operatorname{Im}(z) \\ $$

Сделаем замену. Получим одно уравнение, вместо двух.

$$ u^{\prime \prime}+i v^{\prime \prime}+\frac{f}{\nu}(v-i u)=0 \\ $$ $$ (u+i v)^{\prime \prime}-i \frac{f}{\nu}(u+i v)=0 \\ $$ $$ z^{\prime \prime}-\alpha^2 z=0 \\ $$ $$ \alpha=\sqrt{i \frac{f}{\nu}}=e^{i \pi / 4} \sqrt{\frac{f}{\nu}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{f}{\nu}}=(1+i) \cdot \sqrt{\frac{f}{2 \nu}} \\ $$

Будем искать решение в виде

$$z=A e^{\alpha z}+B e^{-\alpha z} $$

По физическому смыслу (и здравому тоже) решение должно стремиться к нулю на минус бесконечности.

$$\lim _{z \rightarrow-\infty} z=0 \Rightarrow B=0 \Rightarrow z=A e^{\alpha z}\\ $$

Шаг 4. Учтем граничные условия

Найдем свободный коэффициент

$$ z^{\prime}=A \alpha=u^{\prime}+i v^{\prime}=i \frac{\tau}{\rho J} \Rightarrow A=i \frac{\tau}{\rho \nu \alpha}=\frac{e^{i \pi / 4} \tau}{\rho \nu \sqrt{\frac{f}{\nu}}} \\ $$

Тогда запишем решение

$$ z=\frac{e^{i \frac{\pi}{4}} \tau}{\rho \nu \sqrt{\frac{f}{\nu}}} e^{(1+i) \sqrt{\frac{f}{2 \nu}} z}=v_0 e^{(1+i) \frac{z}{d}+i \frac{\pi}{4}}=v_0 e^{\frac{z}{d}} e^{i\left(\frac{z}{d}+\frac{\pi}{4}\right)} \\ $$

Введем обозначения. Величину d называют глубиной Экмана.

$$ v_0=\frac{\tau d}{\sqrt{2} \rho \nu} $$ $$ d=\sqrt{\frac{2 \nu}{f}} $$

Тогда проекции скорости на оси x и y

$$ u=\operatorname{Re}(z)=v_0 e^{\frac{z}{d}} \cos \left(\frac{z}{d}+\frac{\pi}{4}\right) \\ $$ $$ v=\operatorname{Im}(z)=v_0 e^{\frac{z}{d}} \sin \left(\frac{z}{d}+\frac{\pi}{4}\right) \\ $$

Вектор скорости дрейфового течения на поверхности отклонен от направления дующего ветра на угол 45°вправо в северном полушарии.

Иллюстрация из курса Основы геофизики [4]

Шаг 5. Найдем интегральный перенос вод

Вычислим интеграл по частям.

$$ \int_{-\infty}^0 u(z) dz= \int_{-\infty}^0 v_0 e^{\frac{z}{d}} \cos \left(\frac{z}{d}+\frac{\pi}{4}\right) dz =\frac{v_0 d}{\sqrt{2}}>0 \\ $$ $$ \int_{-\infty}^0 v(z) dz= \int_{-\infty}^0 v_0 e^{\frac{z}{d}} \sin \left(\frac{z}{d}+\frac{\pi}{4}\right) dz = 0 $$

Интегральный перенос вод перпендикулярен направлению ветра

Рассмотрим задачу Экмана для океана конечной глубины.

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}=\overrightarrow{\mathrm{g}}+2[\overrightarrow{\mathrm{v}} \times \vec{\omega}]-\frac{\vec{\nabla} \mathrm{p}}{\rho}+v \Delta \overrightarrow{\mathrm{v}}+\left(\zeta+\frac{v}{3}\right) \operatorname{grad} \operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{v}} \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \bar{v})=0 \\ \left.u_z\right|_{z=0}=0 \\ \left.v_z\right|_{z=0}=\frac{\tau}{\rho \nu}\\ u(-H)=0 \\ v(-H)=0 \\ w=0=const \end{array}\right. $$

Аналогично используем метод введение комплексной переменной и получаем решение.

$$ \begin{aligned} & z^{\prime \prime}-\alpha^2 z=0 \quad \alpha=\sqrt{i \frac{t}{v}} \\ & z=A e^{\alpha z}+B e^{-\alpha z} \end{aligned} $$ $$\left.z^{\prime}\right|_{z=0}=u^{\prime}+i v^{\prime}=i \frac{\tau}{\rho \nu}$$ $$\left.z\right|_{z=-H}=u+i v=0$$

Иллюстрация из курса Основы геофизики [4]

Список литературы:

Знания.Вики: Нансен, Фритьоф
Большая российская энциклопедия 2004-2017: Э́КМАН ВАГН ВАЛЬФРИД
Безруков Ю.Ф., Тамайчук А.Н.. Течения в Мировом океане, 2001
Teach-in. Лекции ученых МГУ: Основы геофизики, Носов М.А., Смирнов В.Б.