В курсе школьной физики сто раз была решена задача о броске тела под углом к горизонту, оттуда же мы знаем, что при угле в 45 градусов, тело будет иметь наибольшую дальность полёта. Однако, в данном случае мы не учитываем потери на сопротивление воздуха.

В былые времена эта проблема была существенной, так по мере совершенствования артиллерийских орудий вместе с дальностью стрельбы необходимо было также не проигрывать в её кучности, что послужило началом такой науки как баллистика.

В современном мире эксперты в области баллистики могут достоверно спрогнозировать вероятные траектории полёта снаряда, учитывая многие факторы помимо сопротивления воздуха. Так, например, вращающийся снаряд отклоняется от прямой изначального выстрела – так называемая деривация – этим явлением можно воспользоваться чтобы поразить мишень за каким-либо препятствием. Очевидно, что все эти сложные вычисления требуют развитого математического аппарата, поэтому сегодня мы бы хотели на примере брошенного тела посмотреть, что произойдёт если «включить» трение о воздух.

Экспериментальные методы в математике

Изначально данное исследование было навеяно мнемоническим правилом: «как пнёшь, так и полетит». Однако, пинать различные объекты (помимо, разумеется, балды) мы не хотели, поэтому решили провести моделирование на компьютере, а так как в виртуальном мире можно гораздо больше, чем в реальном для поднятия настроения было решено запускать под углом к горизонту не просто абстрактное тело, а тело на мотоцикле.

Как итог имеем:

1. Мотоциклиста, желающего перелететь препятствие
2. Препятствие в виде реки Москвы
3. Тривиальные познания в области моделирования

Для начала определимся с некоторыми вводными данными, которые нам известны, то есть характеристиками стального коня нашего бесстрашного подопытного кролика (мотоциклист был игрушечным, честное слово) – Ducati Streetfighter 848:

• Масса (вместе с пилотом) – 264 кг
• Максимальная мощность двигателя – 86.1 кВт
• Максимальная скорость – 67 м/с

Также мы знаем, что средняя ширина реки в районе Воробьёвых гор — 200 м.

Остаётся дело за малым, определить, с какой скоростью и под каким углом должен двигаться наш камикадзе, чтобы перепорхнуть через реку.

Начала расчета

Для начала, конечно же с потолка (объяснение этих вещей можно найти в учебниках по механике для 1 курса, однако о применимости дальнейших допущений можно диспутировать бесконечно) возьмём формулу для подсчёта силы сопротивления воздуха:

Где коэффициент определяется из следующих соображений: с максимальной скоростью мотоциклист едет на максимальной мощности без ускорения, тогда сила тяги, равна силе сопротивления воздуха при этой же скорости. Данный факт следует из законов Ньютона. Получаем, что таким образом, коэффициент примерно равен 18 Н*с/м.

Математический эксперимент

Теперь нам остаётся провести серию экспериментов, благо наш пушистик (мотоциклист) игрушечный, а значит не чувствует боли и бессмертен. Для упрощения математической модели, примем следующее: тело и мотоцикл после отрыва — двигаются как материальная точка.

Для того, чтобы учитывать сопротивление воздуха, воспользуемся численной схемой Эйлера, так как она является самой простой в реализации, хоть и не самой точной.

Запишем второй закон Ньютона (как пнёшь, так и полетит):

Как задать начальную скорость?

Для того, чтобы схема дала результат нужно задать начальную скорость, но вот незадача — мы то её не знаем и хотим найти. Как же быть? Сделаем следующее: при максимальной скорости, определим угол, при котором тело имеет максимальную дальность полёта и зафиксируем его, а затем будем уменьшать значение скорости до тех пор, пока наш импровизированный снаряд всё ещё будет перелетать через русло реки. Однако не совсем очевидно, почему при изменении модуля скорости, угол максимальной дальности должен сохраняться, поэтому параллельно применим методы минимизации и сравним результаты.

Подбор оптимального угла

В результате получено значение 40 градусов.

Подбор оптимальной скорости

В результате было получено значение в 51.37 м/с.

Вдаваться в подробности работы методов минимизации мы не будем, остановимся лишь на их сути: все методы так или иначе подбирают некоторые параметры для того, чтобы величина от них зависящая принимала минимальное значение. Зададим в качестве входных параметров: модуль скорости и угол наклона, а в качестве минимизируемой величины — сумма абсолютного отклонения дальности полёта от заданной (200 м) и модуля скорости. Для того, чтобы регулировать влияния каждого из слагаемых можно добавить весовые множители, однако в нашем случае это не обязательно.

Как можно заметить, метод минимизации дал нам меньшее значение скорости, однако первый метод тоже имеет место быть. Конечно же результаты, полученные методом минимизации достовернее, так как в процесс перебирает всё множество параметров в совокупности, а не по отдельности как это делали мы в первом случае.

В заключение, хотелось бы отметить, что все результаты можно усовершенствовать, использовав, например, четырёх-стадийную схему семейства Рунге-Кутты, а также поигравшись с весовыми множителями. Ну и конечно же не стоит забывать, что данный эксперимент ни при каких обстоятельствах нельзя повторять в жизни!

Подробную программную реализацию расчетов можно найти здесь.

Благодарности

Отдельную благодарность выражаем Витман Софии — ученице 8 класса, проводившей исследования в своём проекте «поиск оптимальной формы трамплина, при которой мотоспортсмен сможет пересечь Москву реку» и вдохновившей нас на создание этой статьи.

Список литературы:
Минимизация - лекция 9

1. Teach-in. Лекции ученых МГУ: Численные методы. Лукьяненко Д.В. (лекции 9 и 11)
2. Документация к библиотеки SciPy: scipy.optimize.minimize

Список литературы:
Минимизация - лекция 9

1. Teach-in. Лекции ученых МГУ: Численные методы. Лукьяненко Д.В. (лекции 9 и 11)
2. Документация к библиотеки SciPy: scipy.optimize.minimize